(MATEMATIKA DISKRIT) DAN (ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS)

MATEMATIKA DISKRIT

Apakah Matematika Diskrit itu?

• Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
• Objek disebut diskrit jika: 1. Terdiri dari elemen yang berbeda (distinct) dan terpisah secara individual, atau. 2. Elemen - elemennya tidak bersambungan (unconnected).
• Contoh:himpunan bilangan bulat (integer)
• Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous).
• Contoh :himpunan bilangan riil(real)

Diskrit versus kontinu

Kurva mulus: himpunan menerus

Titik-titik tebal di kurva: himpunan diskrit

• Matematika Diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek yang nilainya berbeda (distinct) dan terpisah (separate) satu sama lain.
• Lawannya: Matematika Menerus (continuous mathematics), yaitu cabang matematika dengan objek yang sangat mulus (smoothy), termasuk di dalamnya calculus.
• Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit.
• Kamera digital menangkap gambar (analog) lalu direpresentasikan dalam bentuk diskrit berupa kumpulan pixel atau grid.Setiap pixel adalah elemen diskrit dari sebuah gambar.

Topik bahasan didalam Matematika Diskrit:

•Logika (logic) dan penalaran

•Teori Himpunan(set)

•Relasi dan Fungsi (relation and function)

•Induksi Matematik (mathematical induction)

•Algoritma (algorithms)

•Teori Bilangan Bulat (integers)

•Barisan dan Deret(sequences and series)

•Teori Grup dan Ring (group and ring)

•Aljabar Boolean(Boolean algebra)

•Kombinatorial (combinatorics)

•Teori Peluang Diskrit (discrete probability)

•Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens

•Teori Graf (graph–included tree)

•Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity)

Contoh-contoh persoalan didalam Matematika Diskrit:
•Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8 karakter?
•Bagaimana nomor ISBN sebuah buku divalidasi?
•Berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil?
•Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b?
•Diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaian sebuah persoalan, algoritma mana yang terbaik?
•“Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama?

1. LOGIKA

• Logika adalah ilmu yang membantu kita dalam berpikir dan menalar (reasoning)
• Menalar artinya mencapai kesimpulan dari berbagai pernyataan.
• Banyak teoremadi dalam IlmuKomputer/Informatika yang membutuhkan pemahaman logika.
• Contoh:
• 1. Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika gcd(a, b) = 1.
• 2. Syarat cukup graf dengan n simpul mempunya isi r kuit Hamilton adalah derajat tiap simpuln/2.
• 3. T(n) = (f(n)) jika dan hanya jika O(f(n)) = (f(n)).
• Bahkan, logika adalah pondasi dasar algoritma dan pemrograman.
• Contoh:

• if x > y then
• begin
• temp:=x;
• x:=y;
• y:=temp;
• end;

2. HIMPUNAN

• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
• Objek didalam himpunan disebut elemen,unsur,atau anggota.
• Perhatikan bedanya:
• {1, 2, 3, 4, 5, 6 } = Himpunan (set)
• {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6} = Bukan himpunan Himpunan-ganda (multi-set)

SUMBER MATERI :

- http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2015-2016/Pengantar%20Matematika%20Diskrit%20(2015).pdf

- http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2018-2019/matdis18-19.htm

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

A. Bentuk umum
Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam
bentuk a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dengan a1, a2, …, an , b adalah konstanta riil.
Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi
logaritma ataupun fungsi exponensial.
Contoh 1:
a. x + y = 4  persamaan linear dengan 2 peubah
b. 2x – 3y = 2z +1 persamaan linear dengan 3 peubah
c. 2 log x + log y = 2 bukan persamaan linear
d. 2ex = 2x + 3bukan persamaan linear

B. Sistem persamaan linear ( SPL )
Definisi
Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear
Contoh 2:
a. x + y = 2  2x + 2y = 6
b. x – y + z = 4x + y = 0
Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian( solusi ) , system
persamaan linear yang memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu
penyelesaian tunggal dan penyelesaian banyak.

MATRIKS

A. Definisi Matriks
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi
panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen),
disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

NOTASI MATRIKS
Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks yang mempunyai
i baris dan j kolom ditulis A=(aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij
dimana indeks I menyatakan baris ke I dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen
tersebut.
Secara umum :
Matriks A=(aij ), i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa banyaknya baris
m dan banyaknya kolom n.

B. Jenis-Jenis Matriks
Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan matriks baris
a) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
1. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
2. A*0=0, begitu juga 0*A=0.

b) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah
kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari
matriks bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2

c) MATRIKS BUJURSANGKAR ISTIMEWA
a. Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar sedemikian sehingga
AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing).
b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB=-BA maka A dan B disebut ANTI
COMMUTE.
c. Mtriks M dimana Mk+1=M untuk k bilangan bulat positif disebut matriks
PERIODIK.
d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1=M maka M
disebut PERIODIK dengan PERIODE k.
e. Jika k=1 sehingga M2=M maka M disebut IDEMPOTEN.
f. Matriks A dimana Ap=0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks
NILPOTEN.
g. Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap=0 maka A disebut
NILPOTEN dari indeks p.

d) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar
diagonal utamanya nol.
Sifat-sifat matriks identitas :
1. A*I=A
2. I*A=A

f) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi
bukan nol atau satu.

g) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks
bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

h) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks
bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

i) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris
secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks
yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

j) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari
matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0

k) MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemenelemennya
= 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan
dan kirinya.

l) MATRIKS JODOH Ā, adalah jika A matriks dengan elemen-elemen bilangan
kompleks maka matriks jodoh Ā dari A didapat dengan mengambil kompleks
jodoh (CONJUGATE) dari semua elemen-elemnya.

m) MATRIKS HERMITIAN. Matriks bujursangkar A=(aij) dengan elemen-elemen
bilangan kompleks dinamakan MATRIKS HERMITIAN jika (Ā)'=A atau matriks
bujursangkar A disebut hermitian jika aij = āij . dengan demikian jelas bahwa
elemen-elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan-bilangan riil.

C. Operasi Matriks
a) Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks
yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah
matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij ) dimana
(cij ) = (aij ) +(bij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan
elemennya (cij ) = (aij ) +(bij ).

b) Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat
dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika
ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

c) Perkalian Matriks Dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) yaitu
suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A
dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau
dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij ).

d) PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS
Beberapa hal yang perlu diperhatikan :
1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama
dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah
suatu matriks C=(cij ) berukuran mxn dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ………………….+ aipbpj

Beberapa Hukum Perkalian Matriks :
1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
3. Tidak Komutatif, A*B  B*A
4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A0 dan B0
5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

D. Matriks Transpose
Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah
matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai
kolom ke-i dari AT.
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
1. (AT) = A
2. (A+B)T = AT + BT
3. k(AT) = (kA)T
4. (AB)T = BT AT

SUMBER MATERI
- http://fasilkom.mercubuana.ac.id/wp-content/uploads/2017/10/Matriks-dan-Aljabar-Linear-TI.pdf